定义设二元函数 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处可微，则过点 (x0,y0,f(x0,y0))(x_0, y_0, f(x_0, y_0))(x0,y0,f(x0,y0)) 且与曲面 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y) 相切的平面称为函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处的切平面。
切平面方程可以表示为：
z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)
其中：
fx(x0,y0)f_x(x_0, y_0)fx(x0,y0) 和 fy(x0,y0)f_y(x_0, y_0)fy(x0,y0) 分别是函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处的偏导数。(x−x0,y−y0,z−z0)(x - x_0, y - y_0, z - z_0)(x−x0,y−y0,z−z0) 是切平面上的任意一个向量。性质法向量: 向量 n⃗=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)\vec{n} = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0), -1)n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1) 是曲面 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处切平面的法向量，垂直于切平面。切平面与曲面: 切平面在点 (x0,y0,f(x0,y0))(x_0, y_0, f(x_0, y_0))(x0,y0,f(x0,y0)) 处与曲面 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y) 相切，即在该点处，切平面与曲面的切线重合。推导在曲面 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0F(x,y,z)=0 的点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0,y0,z0) 处，其切平面方程由法向量与平面内的增量向量的关系确定。由于切平面首先是一个 空间平面，其方程由法向量 n⃗\vec{n}n 与增量向量 Δr⃗\Delta \vec{r}Δr 的内积等于零的条件定义，即：
Δr⃗⋅n⃗=0\Delta \vec{r} \cdot \vec{n} = 0 Δr⋅n=0
法向量n法向量 n⃗\vec{n}n 是曲面在点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0,y0,z0) 处的法向量，其分量为：
n⃗=(∂F∂x(x0,y0,z0),∂F∂y(x0,y0,z0),∂F∂z(x0,y0,z0))\vec{n} = \left( \frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0), \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0), \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) \right) n=(∂x∂F(x0,y0,z0),∂y∂F(x0,y0,z0),∂z∂F(x0,y0,z0))
对于显函数 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)，隐函数形式为 F(x,y,z)=f(x,y)−zF(x, y, z) = f(x, y) - zF(x,y,z)=f(x,y)−z，法向量退化为：
n⃗=(∂f∂x(x0,y0),∂f∂y(x0,y0),−1)\vec{n} = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), -1 \right) n=(∂x∂f(x0,y0),∂y∂f(x0,y0),−1)
增量向量r增量向量 Δr⃗=(x−x0,y−y0,z−z0)\Delta \vec{r} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)Δr=(x−x0,y−y0,z−z0) 表示从点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0,y0,z0) 出发的无穷小位移，位于曲面上。由于增量是无穷小, 因此也可以视为在切平面上.
切平面方程根据法向量 n⃗\vec{n}n 与增量向量 Δr⃗\Delta \vec{r}Δr 的内积为零的关系，切平面方程为：
∂F∂x(x−x0)+∂F∂y(y−y0)+∂F∂z(z−z0)=0\frac{\partial F}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z - z_0) = 0 ∂x∂F(x−x0)+∂y∂F(y−y0)+∂z∂F(z−z0)=0
对于显函数 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)，显式切平面方程为：
z=f(x0,y0)+∂f∂x(x0,y0)(x−x0)+∂f∂y(x0,y0)(y−y0)z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0) z=f(x0,y0)+∂x∂f(x0,y0)(x−x0)+∂y∂f(x0,y0)(y−y0)
与二阶泰勒公式的关系切平面方程实际上是二元函数泰勒展开式的一阶展开。当 xxx 和 yyy 非常接近 x0x_0x0 和 y0y_0y0 时，切平面可以很好地近似曲面。因此, 曲面的切平面可以描述为曲面在某一点的最佳线性近似.
计算步骤:
确定切点: 给定点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)。计算函数值: 求出 f(x0,y0)f(x_0, y_0)f(x0,y0)。计算偏导数: 求出 fx(x0,y0)f_x(x_0, y_0)fx(x0,y0) 和 fy(x0,y0)f_y(x_0, y_0)fy(x0,y0)。写出切平面方程: 将上述结果代入切平面方程即可。示例假设 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2f(x,y)=x2+y2, 求在点 (1,2)(1, 2)(1,2) 处的切平面.
计算函数值:f(1,2)=12+22=1+4=5f(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 f(1,2)=12+22=1+4=5
计算偏导数: fx(x,y)=2x⇒fx(1,2)=2⋅1=2f_x(x, y) = 2x \Rightarrow f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 = 2fx(x,y)=2x⇒fx(1,2)=2⋅1=2fy(x,y)=2y⇒fy(1,2)=2⋅2=4f_y(x, y) = 2y \Rightarrow f_y(1, 2) = 2 \cdot 2 = 4fy(x,y)=2y⇒fy(1,2)=2⋅2=4写出切平面方程:z=5+2(x−1)+4(y−2)z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) z=5+2(x−1)+4(y−2)
简化后得到:
z=2x+4y−5z = 2x + 4y - 5 z=2x+4y−5
这就是 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2f(x,y)=x2+y2 在点 (1,2)(1, 2)(1,2) 处的切平面方程.
总结通过求解二元函数在某点的切平面方程，我们可以近似地描述曲面在该点附近的局部性质。切平面在多元函数的微积分、优化问题等领域有着广泛的应用。